Pisagor Üçlüleri

Matematiğin en meşhur bağıntısı olan Pisagor bağıntısını sağlayan tam sayıların oluşturduğu üçlülere Pisagor Üçlüsü denilmektedir. (3,4,5), (5,12,13) , (7,24,25), (8,15,17) üçlüleri, MEB müfredatında öğrendiğimiz pisagor üçlülerine örnek olarak verilebilir. Bu üçlülerden aralarında asal olanlara temel (ilkel) pisagor üçlüleri denilmektedir.

Pisagor Üçlüleri, matematik tarihinde derin köklere sahip, hem teorik hem de pratik açıdan önemli bir yapı taşını temsil eder. Antik Babil döneminden (M.Ö. 1800) itibaren kullanıldığına dair kanıtlar bulunan bu üçlüler, Pisagor Teoremi'nin temel bir uygulaması olarak, geometri ve sayı teorisinin merkezinde yer alır​ (Price, 2008),(Kak, 2010).
Antik metinler, özellikle Hindistan'daki Śulba Sūtraları ve Çin'in Jiuzhang suanshu (Dokuz Bölümde Matematik) gibi eserler, Pisagor üçlülerinin erken kullanımını ve inşasını ayrıntılı şekilde ele almıştır​ (Aleshkevich, 2022). Pisagor üçlüleri Pisagor’dan 1000 yıl öncesine kadar biliniyordu (Ratner, 2009). Çünkü pisagor bağıntısı hem Mısır’da hem de Mezopotamya’da biliniyordu.
Pisagor Üçlüleri, Euclid ve Diophantus gibi klasik matematikçilerin eserlerinde sistematik olarak geliştirilmiş, daha sonra Barning ve Hall tarafından geliştirilen matris temelli yöntemlerle sonsuz bir ağaç yapısı içinde organize edilmiştir. Bu ağ yapısı, tüm ilkel Pisagor üçlülerini kapsar ve modern sayı teorisi araştırmalarında önemli bir araç haline gelmiştir​ (Romik, 2008), (Price ve Bernhart, 2007).
Bu üçlülerin modern uygulamaları, hem saf matematik hem de uygulamalı bilimlerde geniş bir yelpazede karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, fiziksel sistemlerin analizinde, özellikle enerji, momentum ve kütle ilişkilerinin incelenmesinde Pisagor bağıntıları temel bir rol oynamaktadır. James Overduin ve Richard Conn Henry'nin çalışmaları, bu üçlülerin genel görelilikteki temel denklemlerle nasıl ilişkilendirildiğini göstermektedir (Okun, 2008), (Overduin ve Conn Henry, 2020).
Pisagor Üçlüleri, geometrik anlamda da estetik ve matematiksel güzelliğiyle öne çıkar. Örneğin, Fibonacci dizisi ve Pisagor üçlüleri arasındaki bağlantılar, karmaşık sayılar ve birim çember üzerindeki ilişkiler aracılığıyla incelenmiştir. Bu çalışmalar, yalnızca matematiksel keşiflerin değil, aynı zamanda öğretim süreçlerinin de önemli bir parçasını oluşturur​
Örneğin bir bilgisayar oyunun grafikleri tasarlanırken ağ (mesh) oluşturmak gerekebilir. Böyle durumlarda Pisagor üçlülerine ihtiyaç duyulmaktadır (Foley, 1996). Benzer şekilde şifreleme algoritması tasarımı esnasında güvenli anahtar üretiminde ve veri şifreleme algoritmalarında, ilkel Pisagor üçlülerinin simetrik yapıları kullanılmaktadır (Kak, 2010), (Kak ve Prabhu, 2014).

“Acaba tüm temel pisagor üçlülerini üretebilir miyim?”

Araştırmacıların yüzyıllardır üzerinde çalıştığı bu sorunun birden fazla cevabı var. Bu cevaplar içerisinde en bilineni Öklid formülü olarak bilinen ve aralarında asal iki tam sayı kullanılarak tüm pisagor üçlülerini hesaplayabilmemizi sağlayan yöntemdir.
Son dönemlerde bu üçlüler yalnızca klasik Öklid formülüyle değil aynı zamanda Fibonacci dizileri, karmaşık sayılar ve geometrik dönüşümler gibi modern yaklaşımlarla da incelenmektedir.

Fibonacci dizisi Matematikteki en ünlü dizilerden biridir. Fibonacci dizisi ile yıllardır sayısız çalışma yapılmıştır. Öyle ki Fibonacci Derneği adında bir dernek 1963 yılından beri The Fibonacci Quarterly dergisini çıkarmaktadır (The Fibonacci Quarterly). Bu projede de Fibonacci dizisi kullanılarak pisagor üçlülerini elde etme yönteminden bahsedilmiştir (Price ve Bernhart, 2007).

Bu projeyle birlikte pisagor üçlülerinin üretim yöntemlerinin ayrıntılı bir şekilde incelenmesi ve bu yöntemler arasındaki bağlantıları ortaya çıkarılması hedeflenmiştir. Pisagor üçlülerinin kenar uzunluklarının özellikleri ifade edilerek ispatlanmıştır. Özellikle karmaşık düzlemde Pisagor üçlülerinin geometrik bir şekilde görselleştirilmesi, bu çalışmanın yenilikçi yönlerinden biri olarak öne çıkmaktadır. Bu proje, hem modern matematiksel yöntemleri hem de klasik yaklaşımları karşılaştırmalı olarak ele alarak elde edilen bulguları pisagor üçlülerinin üretim süreçleri, incelenmesi ile görselleştirilmesi arasındaki bağın daha iyi bir şekilde anlaşılmasını sağlar.

Bu bölümde öncelikle projede kullanılan kavramların tanımlarına değinilecektir. Daha sonra Pisagor üçlülerini üreten yöntemlerden bahsedilecektir. Bu yöntemlerin ana dayanağı ve birbirleri arasındaki ilişki ele alınacaktır.

1. Pisagor Üçlüleri

Pisagor üçlülerini üretmek için temel (ilkel) pisagor üçlülerini üretmek yeterlidir. Çünkü diğer pisagor üçlüleri, temel pisagor üçlüleri pozitif bir k tam sayısı ile genişletilerek elde edilebilir.

Tanım: $a$ ve $b$ aralarında asal yani $\text{EBOB}(a,b)=1$ olan iki tam sayı olmak üzere, $a^2+b^2=c^2$ şartını sağlayan $(a,b,c)$ tam sayı üçlüsüne temel pisagor üçlüsü denir.

Tüm pisagor üçlülerini bulmak için temel pisagor üçlülerini üretecek yöntemleri elde etmeliyiz.

Önerme 1: Temel pisagor üçlüsü $(a,b,c)$ olmak üzere $a$ ve $b$ tam sayılarından biri tek diğeri çift sayıdır. Hipotenüs her zaman tek sayıdır.

İspat: $a^2+b^2=c^2$ şartını sağlayan $a$ ve $b$ sayılarının ikisi de çift olsun. Bu durumda $a=2k$, $b=2m$ olacak şekilde $k$ ve $m$ tam sayıları vardır ve $\text{EBOB}(a,b)=2$ olacağından temel pisagor üçlüsü tanımına çelişir.

$a$ ve $b$ sayılarının ikisi de tek olsun. Bu durumda $a=2k+1$, $b=2m+1$ olacak şekilde $k$ ve $m$ tam sayıları bulunabilir. $a^2+b^2=c^2$ eşitliğinde $a$ ve $b$’yi yerine yazarsak $(2k+1)^2+(2m+1)^2=c^2$ elde ederiz.

olduğundan

olur.

$a$ ve $b$ tek sayı olduğundan $a^2+b^2$ çift sayı olmalıdır. $c^2$ çift sayı ise $c$ de çift sayı olmalıdır. Çünkü $c$ tam sayı olmalıdır. O halde $c^2$, 4’ün tam katı olmalıdır. Fakat (2) eşitliğinden görüleceği üzere $c^2$, 4’ün tam katı değildir.

Bu iki durumda da çelişki elde edildiği için $a$ ve $b$’den biri tek biri çifttir. Bunun sonucu olarak $c$ de tektir.

Önerme 2: Temel pisagor üçlüsü $(a,b,c)$ olmak üzere $a$ veya $b$, 3 ile tam bölünebilir ama $c$, 3 ile tam bölünemez.

İspat: Bu önermenin ispatında modüler aritmetikten yararlandık.

Bir x tam sayısı alalım.

olur.

Bu demektir ki bir tam sayının 3 ile bölümünden kalan ya 0 ya da 1’dir.

Şimdi $a^2+b^2=c^2$ eşitliğini ele alalım.

$c^2 \equiv 0 \pmod{3}$ olsun. Bu durumda $a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ olur. Bunun olabilmesi için ya $a^2$ ve $b^2$’nin 3 ile bölümünden kalanın birinin 1 diğerinin 2 ya da ikisi için de

olması gerekir. Bir tam sayının karesinin 3 ile bölümünden kalan 2 olamayacağı ve $a$ ve $b$ sayılarının karelerinin aynı anda 3 ile bölünmesi $a$ ve $b$’nin aralarında asal olması ile çeliştiği için $c^2 \equiv 0 \pmod{3}$ olamaz. Buradan ve (3)’ten $c$’nin 3 ile tam bölünmediğini de göstermiş oluruz.

$c^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olsun. Bu durumda $a^2+b^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olmalıdır. Bu da ancak $a^2$ ve $b^2$’nin 3 ile bölümünden kalanın birinin 1 diğerinin 0 olması ile mümkün olabilir. Böylece $a$ ve $b$’den birinin 3 ile tam bölünebilmesi gerektiğini gösterir.

2. Pisagor Üçlüsü Üretme Yöntemleri

Pisagor üçlülerinin geçmişi Babil tabletlerine kadar gitmektedir. Bu üçlüleri elde etmek için kullanılan yöntemlerden bahsedeceğiz.

1) İlk olarak bir dik kenar uzunluğu seçilerek diğer kenarların elde edildiği yönteme yer vereceğiz. 2’den büyük bir $a$ tam sayısı için $(a,b,c)$ pisagor üçlüsü aşağıdaki yöntemle elde edilebilir.

$a$ çift olsun. Bu durumda $a$, 2’ye tam bölünür. O zaman $a^2$, 4’e tam bölünür. O halde $\frac{a^2}{4}$ tam sayıdır. $\frac{a^2}{4}$ sayısına 1 ekleyip 1 çıkarırsak elde edeceğimiz $\frac{a^2}{4}-1$ ve $\frac{a^2}{4}+1$ tam sayılarını sırasıyla $b$ ve $c$ olarak alabiliriz. Bu üçlü pisagor üçlüsü elde etmemizi sağlar.

$a$ tek olsun. O halde $a=2n+1$ olacak şekilde bir $n$ tam sayısı vardır.

$a^2+b^2=c^2$ eşitliğin her iki tarafından $b^2$ çıkarılıp (1) eşitliğinde $a^2$ yerine $c^2-b^2$ yazabiliriz. İki kare farkı açılımı yaparsak

elde edilir. Toplamları $4n^2+4n+1$ olacak ve b ile c ardşık olacak şekilde

$$b=2n^2+2n$$ ve $$c=2n^2+2n+1$$ seçilirse eşitlik sağlanarak pisagor üçlüsü elde edilebilir.

eşitliği ile kural elde edilmiş olur.

2) İkinci kuralımız iki kare farkı özdeşliği ile elde edilmiştir.
$a$ tek bir sayı olsun. $a$ sayısının karesi yine bir tek sayıdır. $b$ ve $c$ ardışık sayılar olmak üzere $a^2=b+c$ eşitliğini sağlayan $(a,b,c)$ sayıları pisagor üçlüsüdür. Çünkü

$a^2+b^2=c^2$ eşitliğinde $a^2$ yerine $b+c$ yazalım.

elde ederiz.Eşitliğin her iki tarafından $b^2$ çıkarıp iki kare farkı açılımı yaparsak,

elde edilir. c ve b ardışık olduğundan c-b=1 ‘dir. Eşitliğin sağlandığı görülmüş olur.

a çift sayı olsun. a nın karesini alıp ikiye bölersek, elde edilen sayı bir çift sayıdır. b ve c ardışık tek sayılar olmak üzere $\frac{a^2}{2} = b+c$ eşitliiğini sağlayan (a,b,c) tam sayıları pisagor üçlüsüdür. Çünkü

$a^2+b^2=c^2$ eşitliğinde $a^2$ yerine 2(b+c) yazalım.

elde ederiz.Eşitliğin her iki tarafından $b^2$ çıkarıp iki kare farkı açılımı yaparsak,

elde edilir. c ve b ardışık tek sayı olduğundan $$c-b= 2$$ 'dir. Eşitliğin sağlandığı görülmüş olur.

3) Öklid Formülü

Öklid Formülü, pisagor üçlüleri üretmek için kullanılan en yaygın formüldür.

$m$ ve $n$ aralarında asal pozitif iki tam sayı olmak üzere,

ile elde edilen $(a,b,c)$ üçlüsü temel pisagor üçlüsüdür.

$a^2+b^2=c^2$ eşitliğinde $b$ çift olsun. Eşitliğin her iki tarafından $a^2$ çıkaralım.

İki kare farkı açılımı yapalım.

$b$ çift olduğundan $b=2k$ alacak şekilde bir $k$ pozitif tam sayısı vardır. Öyleyse $b^2=4k^2$ olduğunu söyleyebiliriz. $b$ çift olduğu için yukarı verilen önerme gereği $a$ ve $c$ tek olmalıdır. O halde $(c-a)$ ve $(c+a)$ çift olmalıdır. $(c-a)=2p$ ve $(c+a)=2q$ olacak şekilde $n$ ve $m$ tam sayıları vardır.

Burada $m$ ve $n$ aralarında asal olmalıdır.

Bunu şu şekilde gösterebiliriz. $\text{EBOB}(p,q)=d$ ve $d \neq 1$ olsun. O halde $(c-a)=2p$ ve $(c+a)=2q$ eşitliklerinden $c=p+q$ ve $a=p-q$ elde edilebilir. Burada $p$ ve $q$, $d$ ile tam bölünüyorsa toplamları ve farkları olan $c= p+q$ ve $a=p-q$ sayılarını da $d$ ile tam bölmelidir. Bu da temel pisagor üçlüsü tanımıyla çelişir. Çünkü $a$ ve $c$ aralarında asaldır.

Tekrar $k^2=p.q$ eşitliğine dönersek aralarında asal iki sayının çarpımı bir tam kare ise $p$ ve $q$’nün asal çarpanlarının farklı olması sebebiyle, $p$ ve $q$ sayıları da tam kare olmalıdır.

Buradan $p=m^2$ ve $q=n^2$ olacak şekilde $m$ ve $n$ pozitif tam sayıları vardır.

elde edilir ve

Buradan $b^2=4k^2$ olduğu için $b=2mn$, $c=p+q$ olduğu için $c=m^2+n^2$ ve $a=p-q$ olduğu için $a=m^2-n^2$ olduğu görülmüş olur.

Bu formül ile elde edilen temel pisagor üçlülerine bir $k$ parametresi ile eklenerek tüm pisagor üçlüleri üretilebilir.

Sonuç 1: Temel pisagor üçlüsü $(a,b,c)$ olmak üzere $a$ veya $b$, 4 ile tam bölünebilir ama $c$, 4 ile tam bölünemez.

$b^2=4k^2=4m^2n^2$ olduğuna göre $b^2$ çift sayıdır yani $b$ çift sayıdır. $b$ çift ise Önerme 1’den $a$ tek olmalıdır. $a=m^2-n^2$ tek sayı olması için $m$ ve $n$’den biri tek biri çift olmalıdır. O halde $b=2mn$ sayısı 4’ün tam katı olmalıdır.

4) Karmaşık Sayıların Karesi

Öklid formülü ile pisagor üçlüsü elde etmede kullandığımız $m$ ve $n$ sayılarını koordinat sistemi üzerinde gösterdiğimizde pisagor üçgenleri elde etmemiz mümkün olmuyor. Fakat o değeri Karmaşık düzlemde bir nokta olarak alıp onun karesini bir nokta olarak belirlersek o nokta, $x$ eksenindeki izdüşümü ve orijin bir pisagor üçlüsünü koordinat sistemi üzerinde göstermemizi sağlıyor. Bu proje için Geogebra uygulamasını kullanılarak karmaşık düzlemde verilen bir $z=x+yi$ sayısına karşılık gelen pisagor üçlülerini koordinat sisteminde gösterdik.

Şekil 1’de verilen $A'(2,1)$ noktası hipotenüs uzunluğu 5 olan bir üçgen elde etmemizi sağlarken, $z=2+i$ olarak ele aldığımız $z$ karmaşık sayısının karesini aldığımızda $z^2=3+4i$ elde ederiz. Bu noktayı köşe kabul eden üçgen pisagor üçlüsüne uygun bir üçgen olmuş olur.

Şekil 1: (3,4,5) pisagor üçlüsünün karmaşık düzlemde gösterimi

Benzer şekilde aralarında asal olarak seçilen pozitif $m$ ve $n$ tam sayıları için $z=x+yi$ karmaşık sayısının karesi $z^2=x^2+y^2i$ olacağından tüm pisagor üçlülerini Karmaşık düzlemde göstermemiz mümkün olur. Şekil 2, Şekil 3 ve Şekil 4’te en sık kullanılan pisagor üçlülerinin karmaşık düzlemde gösterimi verilmiştir.

Şekil 2: $(5,12,13)$ pisagor üçlüsünün karmaşık düzlemde gösterimi

Karmaşık düzlemde $z=x+yi$ sayısı için $x=3$, $y=2$ aldığımızda $(5,12,13)$ pisagor üçlüsünü elde ederiz.

Şekil 3: $(8,15,17)$ pisagor üçlüsünün karmaşık düzlemde gösterimi

Karmaşık düzlemde $z=x+yi$ sayısı için $x=4$, $y=1$ aldığımızda $(8,15,17)$ pisagor üçlüsünü elde ederiz.

Şekil 4: $(7,24,25)$ pisagor üçlüsünün karmaşık düzlemde gösterimi

Karmaşık düzlemde $z=x+yi$ sayısı için $x=4$, $y=3$ aldığımızda $(5,12,13)$ pisagor üçlüsünü elde ederiz.

5) Fibonacci Dizisi ile Pisagor Üçlüsü Üretmek

Fibonacci dizisi, ilk iki terimi 1 olan ve diğer terimleri o terimden önce gelen iki terimin toplanması ile elde edilen bir sayı dizisidir. Bu dizi ile üretilen $2 \times 2$ tipindeki matrisler ile Öklid Formülü arasında bir bağlantı bulunmaktadır. Ayrıca bu matrisler bir pisagor üçlüleri ağacı oluşturmaktadır (Price, 2008).

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$ dizisinin ilk 4 terimini alıp bir matris haline getirelim.

matrisi aslında Öklid formülündeki $m=2$, $n=1$ durumuna karşılık gelmektedir.

Peki bu matrisle nasıl pisagor üçlüsü elde edeceğiz? Yapmamız gereken matrisin ilk sütununda bulunan 1 ve 2 sayıları çarpıp 2 katını almak, bu bize 4 değerini verecektir. İkinci sütundaki 1 ve 3 sayılarını çarparak 3 elde ederiz. Bir de çapraz çarpma işlemleri yaparak $1 \cdot 2 + 1 \cdot 3$ ile 5 elde ederiz. Sonuçta $(3,4,5)$ pisagor üçlüsü elde edilmiş olur.

Burada aslında temel alınan matris:

matrisidir.

Pisagor üçlüsünün bir dik kenarı ilk sütunun elemanları çarpılıp iki katı alınarak elde edilir. Bu Öklid formülünde $b=2mn$ ile verilmiştir. Diğer dik kenar $(m-n)(m+n)$ ile elde edilir. Öklid formülündeki $a=m^2-n^2$ kenarına karşılık gelmektedir. Son olarak hipotenüs şu şekilde hesaplanır:

Bu da bize $c=m^2+n^2$ ifadesini verir.

Fibonacci matrisleri ile pisagor üçlüsü üretmek mümkün olsa da tüm pisagor üçlülerini üretmek mümkün olmuyor. Çünkü $m$ ve $n$ değerlerinin fibonacci dizisinde bulunmayan

sayılardan da seçilmesi gerekiyor.

Tablo 2’de Fibonacci dizisinde bulunmayan sayılarla oluşturulmuş matrisler kullanılarak aynı yöntemle oluşturulmuş pisagor üçlülerinden bazıları verilmiştir.

Kaynaklar

• Aleshkevich, N. (2022). Construction of primitive Pythagorean triples and Pythagorean triples with a common multiplier using gnomons. ArXiv (Cornell University). https://doi.org/10.48550/arxiv.2205.06178
• Carl Benjamin Boyer, & Merzbach, U. C. (2011). A History of mathematics. Wiley, Cop.
• Foley, J. D. (1996). Computer graphics : principles and practice. Addison-Wesley Publ., Cop.
• Gordon, J. E. (2003). Structures, or, Why things don’t fall down. Da Capo Press.
• Kak, S. (2010). Pythagorean Triples and Cryptographic Coding.
• Kak, S., & Prabhu, M. (2014). Cryptographic Applications of Primitive Pythagorean Triples. Cryptologia, 38(3), 215–222. https://doi.org/10.1080/01611194.2014.915257
• Loxton, J. H., & Cambridge University Press. (1991). Number theory and cryptography. Cambridge University Press.
• Matematik Dünyası Arşiv Ekibi. (1991, February). Pisagor Teoremi; Ya Öncesi | Matematik Dünyası. https://www.matematikdunyasi.org/1991/02/pisagor-teoremi-ya-oncesi/
• Okun, L. (2008). The theory of relativity and the Pythagorean theorem.
• Overduin, J., & Conn Henry, R. (2020). Physics and the Pythagorean Theorem.
• Price, H. (2008). The Pythagorean Tree: A New Species.
• Price, H., & Bernhart, F. (2007). Pythagorean Triples and A New Pythagorean Theorem.
• Proceedings of the Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Volume 20, Utilitas Mathematica Pub, 1990, p. 141, ISBN 9780919628700
• Ratner, B. (2009). Pythagoras: Everyone knows his famous theorem, but not who discovered it 1000 years before him. Journal of Targeting, Measurement and Analysis for Marketing, 17(3), 229–242. https://doi.org/10.1057/jt.2009.16
• Romik, D. (2008). The dynamics of Pythagorean Triples. Transactions of the American Mathematical Society, 360(11), 6045–6064. https://doi.org/10.1090/s0002-9947-08-04467-x
• Teia, L. (2016). Anatomy of the Pythagoras’ Tree. 30(2), 38–47. https://www.researchgate.net/publication/313389694_Anatomy_of_the_Pythagoras
• The Fibonacci Quarterly. (n.d.). Www.fq.math.ca. https://www.fq.math.ca/index.html
• Wacław Sierpiński. (2003). Pythagorean triangles. Mineola, Ny Dover Publications.